$\newcommand{\dede}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2} }
\newcommand{\dd}[2]{\frac{d #1}{d #2}}
\newcommand{\divby}[1]{\frac{1}{#1} }
\newcommand{\typing}[3][\Gamma]{#1 \vdash #2 : #3}
\newcommand{\xyz}[0]{(x,y,z)}
\newcommand{\xyzt}[0]{(x,y,z,t)}
\newcommand{\hams}[0]{-\frac{\hbar^2}{2m}(\dede{^2}{x^2} + \dede{^2}{y^2} + \dede{^2}{z^2}) + V\xyz}
\newcommand{\hamt}[0]{-\frac{\hbar^2}{2m}(\dede{^2}{x^2} + \dede{^2}{y^2} + \dede{^2}{z^2}) + V\xyzt}
\newcommand{\ham}[0]{-\frac{\hbar^2}{2m}(\dede{^2}{x^2}) + V(x)}
\newcommand{\konko}[2]{^{#1}\space_{#2}}
\newcommand{\kokon}[2]{_{#1}\space^{#2}} $
# Outline
| Thema | Notizen | Zeit |
| ----- | ------- | ---- |
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# Teile
## Motivation
## Recap Unterricht
### Einstenische Summenkonvention
Paarweise indizes sind Multiplikationen
$\sum\limits_{i} A_{ij}v_{j}= A_{ij}v_{j} = A v$
Regeln:
- Jeder index ist entweder Input oder kommt paarweise vor.
- Dimension eines Objekts bestimmt durch anzal indizes
- Implizite summation über gleiche indizes (automatische Matrixmultiplikation)
### Vierervektor
Event: Zeit und Ort
$x\equiv x^{\mu}= \begin{pmatrix} x_{0}\\ x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\end{pmatrix}$
$x^{\mu}=(ct, \vec x)$
### Galilleische Relativität
1) Zeit und Raum sind isotrop und homogen.
2) Zu Inertialsystemen gleichmässig bewegte Systeme sind inertial.
3) Physik ist in Inertialsystemen gleich.
#### Koordinatentransformation
$\beta = \frac{v}{c}$
$x'^{0}= x^{0}$ Da Zeit unberührt
$x'^{i}= x^{i}-\beta^{i}x^{0} = x^{i}- \frac{v}{c} ct$
Als Matrix:
$$\mathbb{M}_G^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 1 \\ -\beta^{1} & 1 \\ - \beta^{2}& & 1 \\ - \beta^{3} & & & 1 \end{pmatrix}$$
Als Summe:
$$x' = \sum\limits_{i} x^{i} - \beta^{i}x^{0}$$
### Kontra vs Kovarianz
Echte koordinaten vs Messkoordinaten
**Kontravariant**
Wenn ich das Koordinatensystem ändere, so ändern sich die beinhalteten grössen **entgegen** der Transformation. (ich muss für die Transformation **kompensieren**)
**Kovariant**
Wenn ich das Koordinatensystem ändere, so ändern sich die **Achsen** mit. (ich bin die Transformation)
Beispiel:
Ich habe ein Objekt bei $x = 10 m$. **Distanz ist eine Kontravariante** grösse. Wenn ich jetzt meine "Basis" wechsle, indem ich die **Distanz in mm** haben möchte (einer **kleinerern** Einheit), so ändert sich die Distanz auf kontravariante weise -> wird grösser.
Die Distanz ist jetzt $10 000 mm$
Ich habe einen Masstab, mit 100 Markierungen pro $m$. Die Anzahl Markierungen sind kovariant, denn bei änderung der Basis von $\frac{\#}{m}$ zu $\frac{\#}{mm}$ (einer "kleineren Einheit") habe ich plötzlich nur noch 0.1$\frac{\#}{mm}$. Die Markierungsdichte hat sich auf kovariante art mitgeändert
Was macht also der **metrische Tensor**?
Der Metrische Tensor wandelt eine Grösse in ihren dazugehörenden Masstab um.
Insbesondere ist jede messung mithilfe dieses Masstabs invariant unter transformation. (weil ich den Massstab auf korrekte Art mittransformiere)
### Postulate Relativität
1) $c$ ist universell
2) Inertialssteme sind äquivalent
=> Gleichzeitigkeit ist relativ
=> Längen sind relativ
### Zeitdillatation
### Lorentz kontraktion
### Lorentz Transformation
Übertragung der obigen Resultate in Matrixschreibweise
Sei $O'$ ein zu $O$ mit $v=v_x$ bewegtes Inertialsystem:
Betrachte ein Ereignis $v = (ct,x,y,z)$ in $O$
Wir möchten wissen wie das Ereignis in $O'$ aussieht:
$v' = (ct',x',y',z')$
$y',z'$ bleiben gleich
$ct',x'$ werden per Zeitdillatation resp Längenkontraktion angepasst:
$t' = t\gamma - \frac{v_{x}{c^{2}}}x\gamma$
$x' = x'\gamma - v_{x}t\gamma$
Geschwindigkeitsaddition
Gleichzeitigkeit
Minkowsky
$\gamma^2 = \frac{1}{1-\beta^{2}}$
$4 = \frac{1}{{1-\beta^{2}}}$
$1-\beta^{2}= \frac{1}{4}$
$\frac{3}{4}= \beta^{2}$
$\beta = \sqrt\frac{3}{4} \approx 0.87$
## MC
### Zugparadoxon
Zug der (ruhe) Länge $1km$ mit $0.86c$ fährt durch einen Tunnel der Länge $0.5km$
Was sind die Beobachtungen?
- Der Zugfahrer beobachtet einen kurzen Tunnel
- Der Zugfahrer bobachtet einen langen Tunnel
- Ein Aussenstehender betrachtet, wie der Zug vollständig im Tunnel verschwindet
- Ein Aussenstehender sieht den Zug schneller Fahren als der Zugfahrer die Landschaft vorbeiziehen sieht.
### Zugparadoxon II:
Ein Verrückter Wissenschaftler möchte zeigen, dass die Lorentzkontraktion unöglich ist. Dafür befesstigt er Guillotinenblätter am Ein- und Ausgang des Tunnels. Wenn der Zug vollständig verschwunden ist, aktiviert er für eine infinitessimale Zeit die Guillotine.
Was wird beobachtet?
- Der Zug wird geköpft :(
- Der Zug wird nicht geköpft :)
### Zugparadoxon III:
Was beobachtet der Zugfahrer?
- Die Guillotine funktioniert nicht
- Zugspitze fährt in den Tunnel > Guillotine Ausgang > Zugspitze fährt aus dem Tunnel > Zugende ist vollständig im Tunnel > Guillotine Eingang
- Guillotine A > Zugspitze in Tunnel > Zugspitze Aus Tunnel > Zugende im Tunnel > Zugende aus Tunnel > Gillotine E
### Zugparadoxon IV:
Die Vordere Guillotine hat eine Fehlfunktion :( und öffnet nicht mehr. Was wird beobachtet?
- Von aussen verschwindet der gesammte Zug immer noch im Tunnel
- Von aussen wird der Zug vor dem Schliessen der Guillotine gestoppt
- Von innen verschwindet der gesammte Zug im Tunnel (Beobachter steht im letzten Wagon)
- Von innen wird der zug gestoppt vordem der letzte Wagen verschwindet
## Nachbesprechung Serie