$\newcommand{\dede}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2} }
\newcommand{\dd}[2]{\frac{d #1}{d #2}}
\newcommand{\divby}[1]{\frac{1}{#1} }
\newcommand{\typing}[3][\Gamma]{#1 \vdash #2 : #3}
\newcommand{\xyz}[0]{(x,y,z)}
\newcommand{\xyzt}[0]{(x,y,z,t)}
\newcommand{\hams}[0]{-\frac{\hbar^2}{2m}(\dede{^2}{x^2} + \dede{^2}{y^2} + \dede{^2}{z^2}) + V\xyz}
\newcommand{\hamt}[0]{-\frac{\hbar^2}{2m}(\dede{^2}{x^2} + \dede{^2}{y^2} + \dede{^2}{z^2}) + V\xyzt}
\newcommand{\ham}[0]{-\frac{\hbar^2}{2m}(\dede{^2}{x^2}) + V(x)}
\newcommand{\konko}[2]{^{#1}\space_{#2}}
\newcommand{\kokon}[2]{_{#1}\space^{#2}} $
# Outline
| Thema | Notizen | Zeit |
| ---------------- | ------------ | ---- |
| Motivation | | 2' |
| Recap Unterricht | Bis Poynting | 35' |
| Nachbesprechung | | 10' |
| | | |
# Teile
## Motivation
Diese Woche habt ihr gelernt:
- Wie profi Musiker ihr Instrument stimmen (schwebung)
- Wie Energietransport mit Wellen funktioniert:
- Gleiche Mathematik erlaubt es uns Systeme von Hochspannungsleitungen bis Richtstrahl-Satelitenkommunikation zu betrachten
- Wie Transmission und Reflektion von Wellen funktioniert:
- Denke: Linsen gibt es also nicht nur für Licht!
- Wie noise canceling Kopfhörer funktionieren.
## Recap Unterricht
### Partial derivatives
Betrachte die funktionen:
$$f(x,y) = x+y$$
$$y(x) = x$$
$$\dede{f}{x} = \dede{x}{x} = 1$$
$$\dd{f}{x} = \dd{}{x}x + \dd{}{x}y = 1 + \dd{}{x}y = 1+ 1 = 2$$
Bei der Totalen Ableitung sind wir noch nicht fertig, denn wir müssen noch $\dd{y}{x}$ herausfinden.
Was ist der Unterschied?
$\dd{f}{x}$ Ist die Steigung entlang des pfades der durch $y(x)$ vorgegeben wird. Es ist eine Aussage über $g$ die Funktion die nur noch von $x$ abhängt
$\dede{f}{x}$ Ist die Steigung in $x$ Richtung. Es ist eine Aussage über $f$ ohne Berücksichtigung von Pfaden.
In Analysis wird man die Totale Ableitung so definieren: $$df = \dede{f}{x}dx + \dede{f}{y}dy$$
Durch "teilen durch $dx$" erhällt man dann unseren Ausdruck.
Dieser Ausdruck wird verständlicher wenn wir $df,dx,dy$ als Basisvektoren eines VR's betrachten.
Die Notation $$df = \dede{f}{x}dx + \dede{f}{y}dy$$ Ist dann einfach analog zu:
$$df = \begin{pmatrix}\dede{f}{x} \\ \dede{f}{y}\end{pmatrix}$$
Mit $dx = (1,0)$ und $dy = (0,1)$
### 1D Wellengleichung:
### Intuition Laplace:
$\Delta f = \dede{^2f}{x^2} + \dede{^2f}{y^2} + \dede{^2f}{z^2}$
Separate doppelte Ableitung in jede Raumrichtung.
Kugellaplace
### 3D Wellengleichung:
Analog zu 1D, aber....
Linke seite ist abhängig von krümmung in alle richtungen (einfach summiert)
### Polarisation:
Bei Transversalen wellen spielt es eine Rolle in welche Richtung die Welle schwingt:
Experiment mit Schnur.
### Wellentypen:
#### Kugelwellen:
#### Ebene wellen:
Phase an jedem Ort senkrecht zur Ausbreitungsrichtung identisch
### Energietransport:
#### Einzelnes Pendel:
$T = E_{kin} = \frac{1}{2}mv^2$
$$F_{feder}= k_{feder}x = \sigma_{feder}A$$
$$\frac{\sigma}{E} = \frac{\Delta l}{l}$$
$$E_{el} = \int_{0}^{\Delta l} F_{feder} dx = \int_{0}^{\Delta l} A\sigma dx = \frac{AE}{l}\int_{0}^{\Delta l} (\Delta l) d(\Delta l)= \frac{1}{2} \frac{AE}{l} (\Delta l)^{2} = \frac{1}{2}AlE ( \frac{\Delta l}{l})^2$$
$$E_{tot}= T + E_{el}= \frac{1}{2}mv^{2}+ \frac{1}{2}kx^{2} = \frac{1}{2} mv^{2}+ \frac{1}{2}AlE(\frac{\Delta l}{l})^2$$
#### Welle:
Betrachte: $\xi(x,t) = f(kx\pm\omega t) = f(u)$
(Bemerkung: $f_{skript}(x)=f(\frac{x}{k})$)
$\dede{\xi}{x} = \dede{\xi}{(kx\pm\omega t)} \dede{(kx\pm\omega t)}{x} = \dede{f}{u}k$
$\dede{\xi}{t} = \dede{\xi}{(kx\pm\omega t)} \dede{(kx\pm\omega t)}{t} = \pm\dede{f}{u}\omega$
$dT = \frac{1}{2}dm(\dede{\xi}{t})^{2}= \frac{1}{2}\omega^{2}(\dede{f}{u})^2dm$
$$\dd{T}{V}=\frac{1}{2}\dd{m}{V}(\dede{\xi}{t})^{2}= \frac{1}{2}\rho\omega^{2}(\dede{f}{t})^{2} = \frac{1}{2}\rho v^{2}k^{2}(\dede{f}{u})^{2}$$
Betrachte das $v = \dede{\xi}{t}$ die Schallgeschwindigkeit darstellt
Betrachte zuerst: $\dede{\xi}{x} = \frac{\Delta l}{l}$ (Entsteht aus $\sigma = E_{mod} \dede{\xi}{x}$ und $\frac{\sigma}{E} = \frac{\Delta l}{l}$)
Intuitiv sehen wir das eine steilere Kurve gestreckter sein muss.
$$\frac{dE_{el}}{dV}= \frac{1}{2}E \frac{d(Al=V)}{dV} (\frac{\Delta l}{l})^{2} =\frac{1}{2}E (\frac{\Delta l}{l})^{2} = \frac{1}{2}E (\dede{\xi}{x})^{2}$$
$$\dd{E_{el}}{V} = \frac{1}{2}E(k\dede{f}{u})^{2}$$
Via $v^{2} = \frac{E}{\rho}$
$$\dd{E_{el}}{V} = \frac{1}{2}\rho v^{2}k^{2}(\dede{f}{u})^{2}$$
$$\dd{W}{V} = \dd{E_{el}}{V} + \dd{T}{V} = 2\dd{T}{V} = \rho v^{2}k^{2}\dede{f}{u}^{2}$$
Achtung diese Gleichung gilt nur bei Mechanischen Wellen. Zudem haben wir einen Faktor $k^{2}$ mehr als im Skript, dies ist aufgrund der komischen (nicht einheitenlosen) Wellengleichung im Skript.
Ich hoffe das dies so stimmt. Wenn Ihr Fragen oder Anmerkungen dazu habt, so schreibt mir bitte eine Mail:)
> rzumbrunn@ethz.ch
### Interferenz:
Wellen gehorchen (in unserer Betrachtung) dem Superpositionsprinzip.
Wenn $f,g$ die Wellengleichung lösen, so lösen auch $f+g$ die Wellengleichung.
### Reflektion/Transmission
Wenn eine Welle das Medium wechselt, müssen wegen der Stetigkeit einige Bedingungen erfüllt werden.
- Frequenz bleibt gleich
- Wenn die Frequenz sich ändern würde, so würde bei der Grenzfläche die Welle eine relative Phase aufnehmen (dh. Die Welle hätte einen Sprung bzw wäre nicht mehr synchronisiert)
- Die Geschwindigkeit und die Wellenzahl bleiben im Allgemeinen nicht gleich.
Definition: $\alpha$
$\alpha$ ist der Transmissionskoeffizient
Eine Welle macht genau dann einen ($\pi$) Phasensprung, wenn $\alpha > 1$
### Intensität/Poynting vector
Energiedichte $\dd WV$
Mittlere Energiedichte $\langle \dd WV \rangle = \int$
Energieflussdichte $\bf{S} = \dd{^2W}{a dt}\hat n$
Intensität: $I=|S|$
### Superpositionsprinzip
## MC
>Welche sind nonsense
- Der laplace operator eines skalarfeldes kann als gradient der divergenz geschrieben werden
- In einer kugelwelle haben alle punkte gleicher phase den selben Abstand von der quelle
- kohärentes licht ist immer unpolarisiert
>Welche Rechnungen sind Inkorrekt:
> Sei $v(x,y,z) = \begin{pmatrix} x^{2}\\ z \\ yx \end{pmatrix}$
- $div(v) = 2x$
- $rot(v) = 0$
- $rot(v) = \begin{pmatrix} x-1 \\ y \\ 0 \end{pmatrix}$
- $grad(v) = \begin{pmatrix} 2x \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
> Die Intensität ist:
- Der Betrag des Poynting vektors
- Der gerichtete Energiestrom durch eine Fläche mal die Richtung
- Das gleiche wie die Amplitude aber in 3D
- Das gleiche wie der Wellenvektor
>
- Beide spielen den selben Ton. Wenn die Frequenz
## Nachbesprechung Serie
https://www.youtube.com/watch?v=izy4a5erom8