$\newcommand{\dede}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2} }
\newcommand{\dd}[2]{\frac{d #1}{d #2}}
\newcommand{\divby}[1]{\frac{1}{#1} }
\newcommand{\typing}[3][\Gamma]{#1 \vdash #2 : #3}
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\newcommand{\ham}[0]{-\frac{\hbar^2}{2m}(\dede{^2}{x^2}) + V(x)}
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\newcommand{\kokon}[2]{_{#1}\space^{#2}} $
# Outline
| Thema | Notizen | Zeit |
| ----- | ------- | ---- |
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# Teile
## Organisatorisch
Neu Studycenter Di 16:15-18:00 Polyterasse
## Motivation
Diese Woche habt ihr gelernt:
Das allgemeine elektrostatische Problem:
Kondensatoren: Die Zukunft des Energiespeichers?
Potential
Leiter: Basically elektrotechnik.
Faraday: Blitzableiter
Laplace und Poisson eq
Eindeutigkeitssatz
Spiegelladung
Dipole
Kapazität
## Recap Unterricht
### Potential vs Fluss:
Potential: $\phi$
$\nabla \phi = -\vec E$
Fluss: $\Phi$
$\int_{A}\vec E = \Phi$
### Fermats Prinzip:
Licht nimmt den Weg der Extremalen (optischen) Pfadlänge $d*n$.
Auch anwendbar auf Klassische Physik, wenn wir die Pfadlänge durch etwas anderes ersetzen.
Beispiel: Reflektion am Spiegel
### Trigonometry, Trigonomecry
Die wichtigsten Sätze:
$cos^{2}+ sin^{2} = 1$
$cos = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$
$sin = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$
$tan = \frac{sin}{cos}$
$\sin(a+b) = \sin a \cos b + \sin b \ cos a$
$\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$
$\sin a + \sin b = 2 \sin \left(\frac{a+b}{2}\right) \cos \left(\frac{a-b}{2}\right)$
$\cos a + \cos b = 2 \cos \left(\frac{a+b}{2}\right) \cos \left( \frac{a-b}{2} \right)$
### Gauss und Stokes
$\int_{\partial V} F = \int_{V} div F$
$\int_{\partial A} G = \int_{A} rot G$
### Laplace und Poisson
Poisson: $\Delta \phi = \frac{-\rho}{\epsilon}$
Ladungsfreier Fall: Laplace: $\Delta \phi = 0$
Intuition: Wir stellen uns die klassische Analogie für Gravitation vor: Ein gespanntes Bettuch. Wenn keine Objekte das Feld stören, so ist die Form gegeben durch den Rahmen unserer "Trommel". Dies ist eine Lösung der Laplace gl. Wenn wir den rand verformen, (zB indem wir vorgeben was das potential am rand ist) so verformt sich auch das inner.
Wir stellen uns jetzt vor, das wir eine kugel auf das Feld legen. In unserer Analogie entspricht dies einer Ladung (wir können leider nur einen ladungstypen darstellen).
Wir mússen jetzt die Poisson gl betrachten. (wenn wir den punkt der ladung wegdenken, reicht laplace, um jedeoch den tiefsten punkt bei der ladung zu erhalten, brauchen wir die Poisson gl.)
### Leiter
- Bildet eq, pot fläche
- Da wenn nicht, dann hätte man einen Potential gradienten -> Energieverlust -> Wiederstand
- Feld verschwindet im Innern und ist auf der Oberfläche gegeben durch $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}n$
- $\sigma$ grösser, wenn gekrümmter
- Eine Spitze hat mehr "platz" um Feldlinien ins unendliche Loszuwerden dh. Für gleiche Feldliniendichte mehr kapazität für ladung
- Gym analogy
- $Q = \int_{S}\sigma da = \varepsilon_{0}\int_{S}E da$
Rechenbeispiel: Blitzableiter
Warum müssen Blitzableiter spitz sein? Kleiner kontext: Blitze schlagen ein, wenn Feld stark (da eine gewisse Feldstärke gebraucht wird um die Luft zu ionisieren)
Randbed:
- Auf oberfläche des Leiters $\phi = 0$
- Potential $V$ im Unendlichen
Wir wissen:
- $\int_{V} div E dvol= \int_{\partial V} E dA$
Die Kugel wirkt wie ein Kondensator:
- $C= \frac{Q}{U}$
- Betrachte Kugel mit Radius $r$ und Ladung $Q$
- Das Feld ausserhalb der Kugel ist: $\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{r^{2}}$
- Das Potential von $r$ (Oberfläche) bis Unendlich:
- $\int_{r}^{\infty} E = - U$
- $-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \frac{Q}{r}|_{r}^{\infty} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0} r}$
- $C = 4\pi\varepsilon_{0}r$
Wenn wir jetzt die umgekehrte Situation betrachten. $Q$ ist unbekannt:
$Q = CU = 4\pi\varepsilon_{0} r$
Da rotationssym ist die Ladung glm auf die Kugel verteilt:
$\sigma = \frac{Q}{A}= \frac{4\pi\varepsilon_{0}Ur}{4\pi r^{2}} = \frac{\varepsilon_{0}U}{r}$
## MC
Wir betrachten einen Plattenkondensator mit Spannung 5V. Welche Aussagen sind Korrekt?
---(+)| (e-) (p+) |(-)---
- Ein Elektron auf der + Seite ist bei einem höheren Potential als ein Proton auf der - Seite.
- Umgekehrt
- Die Potentielle Energie ist für beide gleich
- Die Potentielle Energie wäre grösser, wären die Ladungen getauscht
Welche Aussagen sind korrekt?
- Die Poisson-Gleichung ist ein Spezialfall der Laplace Gleichungen
- Das Integral des Feldes über den Rand eines Gebietes ist gleich dem Integral der Ladungsdichte über das Volumen (mit faktor epsilon)<
- Die Kapazität ist abhängig von der Spannung und der Ladung
- Die Kapazität ist eine geometrische Eigenschaft
Welche Aussagen sind korrekt?
- Im Ladungsfreien Raum gilt $\int_{\partial V} E = 0$
- Im Ladungsfreien Raum gilt $\int_{A}E = 0$
- Im Feldfeien Raum gilt $F_{C} =0$
- Im Feldfreen Raum gilt immer $\phi = 0$
Welche Aussage zu diesem Feld gilt:
- Das Feld ist rotationsfrei
- Des Feld ist divergenzfrei
- Das integral des Feldes über den Grünen Bereich ist 0
- Das Integral über den Rand des Grünen Feldes ist 0
## Nachbesprechung Serie
### A5
Energie einer Ladungsverteilung: