Prep Woche 2

## Motivation Diese Woche habt ihr gelernt: - Wie Profi Musiker\*innen ihre Instrumente aufeinander abstimmen (Schwebung) - Wie Energietransport mit Wellen funktioniert: - Gleiche Mathematik erlaubt es uns Systeme von Hochspannungsleitungen bis Richtstrahl-Satelitenkommunikation zu betrachten - Was Polarisation ist. - Wie Transmission und Reflektion von Wellen funktioniert: - Denke: Linsen gibt es also nicht nur für Licht! - Wie noise canceling Kopfhörer funktionieren. ## Nachbesprechung ### Bemerkung letzte ÜL #### Schall im Ozean ![|500](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/c/ce/Sound_speed_profile_plotted_using_the_data_in_table_1_on_the_Sound_Speed_Profile_page.png)

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/c/ce/Sound_speed_profile_plotted_using_the_data_in_table_1_on_the_Sound_Speed_Profile_page.png

(TLDR: Ihr hattet recht, die Dichte ist kein relevanter Faktor) Der Grösste Faktor ist die Temperatur an der Oberfläche, und der druck in der Tiefe > From the shape of the sound speed profile in figure 1, one can see the effect of the order of importance of temperature and depth on sound speed. Near the surface, where temperatures are generally highest, the sound speed is often highest because the effect of temperature on sound speed dominates. Further down the water column, sound speed also decreases as temperature decreases in the ocean thermocline, and sound speed also decreases. At a certain point, however, the effect of depth, i.e., pressure, begins to dominate, and the sound speed increases to the ocean floor.[[8]](https://en.wikipedia.org/wiki/Sound_speed_profile#cite_note-9) Also visible in figure 1 is a common feature in sound speed profiles

https://en.wikipedia.org/wiki/Sound_speed_profile#cite_note-9

#### Warnung für zu viel Vereinfachung Physik ist die Kunst des vereinfachens, aber. Zitat Einstein: > Alles sollte so einfach wie möglich sein - aber nicht einfacher Ich habe letzte Lektion eine fatale Vereinfachung vorgenommen

Diese Vereinfachung ist verlockend, jedoch falsch. Warum? Wir haben plötzlich eine Feder die auf die Differenz zwischen

m_{1}

und

m_{2}

reagiert in eine Feder, die auf deren summe reagiert geändert. Dies kommt davon, wenn die Vereinfachungen nicht sauber argumentiert werden… Wir können trotzdem was lernen, denn wir machen es jetzt richtig! (Wichtig! An der Prüfung IMMER die DGL aufstellen (für Teilpunkte), die Vereinfachung dient nur der Intuitiven überprüfung)

#### Reduzierte Masse Idee: Wir haben zwei Freie(!!!) Teilchen mit einer Wechselwirkung. Wir betrachten die Teilchen im Schwerpunktsystem (dh. Dort wo nur noch Relativbewegung relevant ist). Hier können wir

F = m \cdot a

umformen zu

F = μ \cdot a_{r e l}

Mit

μ

der reduzierten Masse. Mehr dazu in AlgMech ### Nachbesprechung Übungen #### Schwebung

x_{1} = \frac{x_{0}}{2} (\cos (ω_{σ} t) + \cos (ω_{δ} t))

\cos (A) + \cos (B) = 2 \cos (\frac{A + B}{2}) \cos (\frac{A - B}{2})

x_{1} = x_{0} \cos (\frac{ω_{σ} + ω_{δ}}{2}) \cos (\frac{ω_{δ} - ω_{σ}}{2})

#### Energietransport

E_{1} = E_{k i n, 1} + E_{p o t, 1}

E_{k i n} = \frac{1}{2} m {\dot{x}}^{2}

E_{p o t} = \frac{1}{2} k x^{2}

Für ein freies Pendel

x = A \sin (ω t)

\dot{x} = A ω \cos (ω t)

E_{k i n} + E_{p o t} = \frac{A^{2}}{2} (m ω^{2} \cos^{2} (ω t) + k \sin^{2} (ω t))

ω = \sqrt{\frac{k}{m}}

ω^{2} m = k

E_{k i n} + E_{p o t} = \frac{A^{2} k}{2}

(nicht wirklich überraschend) Wir können also in guter Näherung

E_{1} = \frac{1}{2} k A (t)^{2}

setzten, wobei

A

jeweils die Amplitude zu diesem Zeitpunkt ist.

E_{1} (t) = \frac{1}{2} k \cos (\frac{ω_{σ} - ω_{δ}}{2})^{2}

E_{2} (t) = \frac{1}{2} k \sin (\frac{ω_{σ} - ω_{δ}}{2})^{2}

E_{1} - E_{2} = \frac{1}{2} k (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))

mit

s^{2} + c^{2} = 1

\cos^{2} - \sin^{2} = 1 - 2 \sin^{2}

\frac{d E_{1} - E_{2}}{d t} = \frac{d}{d t} \frac{1}{2} (1 - 2 \sin^{2} (\frac{ω_{σ} - ω_{δ}}{2}))

= 2 (ω_{σ} - ω_{δ}) \sin (x) \cos (x)

\sin (x) \cos (x) = \frac{1}{2} \sin (2 x)

= ω_{σ} - ω_{δ} \sin (ω_{σ} - ω_{δ})

ω_{σ} - ω_{δ} = \sqrt{\frac{k}{m}} - \sqrt{\frac{2 k + l}{m}}

**Experiment!** (Für diejenigen die nicht in der ÜL waren: https://www.youtube.com/watch?v=izy4a5erom8) ## Recap Unterricht ### 1D Wellengleichung:

### Intuition Vektoroperatoren: #### Gradient: Für ein Skalarfeld (z.B. eine Höhenlandschaft) ist der Gradient die Steigung in jede Richtung. Als Vektor zeigt der Gradient in die Richtung der Grössten Steigung #### Divergenz: Für ein Vektorfeld (z.B. ein Flüssigkeitsstrom) ist die Divergenz die Summe der Ableitungen der Komponenten. Wenn wir das ganze für ein 1D Vektorfeld betrarchten (etwas langweilig)

Die Divergenz sagt uns wie stark sich die Pfeillänge ändert im vergleich zu Nachbarspunkten. Die Divergenz ist also die “quelle” von Pfeillänge.

#### Rotation Für ein Vektorfeld ist die Rotation ein Mass für die Verwirbelung, oder die “nicht-konservativität”. Bei einem konservativen VF kann ich eine Runde laufen, und habe wieder die selbe Energie. In einem VF mit Rotation gibt es Orte, wo ich im Kreis laufen kann, und am Schluss mehr (oder weniger) Energie habe. #### Laplace

Δ f = \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}

Separate doppelte Ableitung in jede Raumrichtung. Beste Erklärung: 3Blue1Brown (see external sources on zura.ch) https://zura.ch/Physics/external_sources.html ### 3D Wellengleichung: Analog zu 1D, aber.... Linke seite ist abhängig von Krümmung in alle Richtungen (einfach summiert) (wichtig hier ist, das dies im Normalfall nicht eine räumliche Krümmung ist, sondern nur die Krümmung des Graphen der Grösse die wir betrachten (z.B. Druck)) ### Polarisation: Bei Transversalen Wellen spielt es eine Rolle in welche Richtung die Welle schwingt: ## Lineare Polarisation

Schwingt die Welle in einer Ebene, so nennen wir das lineare Polarisation.

Wir können Lineare Polarisation durch zwei Wellen entlang

x

und

y

ausdrücken, welche *in Phase sind*. dh.

x

-Welle ist maximal zum gleichen Zeitpunkt wo

y - W e l l e

maximal ist ## zirkuläre Polarisation

Sind die

x

und

y

Welle zueinander um

90^{\circ} = \frac{π}{2}

phase versetzt, dann beobachten wir zirkuläre Polarisation.

Wir betrachten dazu oft die Projektion auf die

x y

-Ebene:

Wir verwenden in der Lecture die Partikel Physik Konvention der Polarisation: 1) Schaue der Welle nach 2) In welche Richtung dreht der Polarisationsvektor? Alternativ: 1) Zeige mit Daumen entlang der Welle 2) Krümme die Finger entlang der Polarisation 3) Rechte Hand -> Rechtszirkular Be aware, es gibt auch andere Konventionen :/ ## MC ### Q1 Welche sind nonsense **a)** Der Polarisierungsvektor jeder (normalen) Schallwelle ist Rechtwinklig zu k **b)** Der Laplace Operator eines Skalarfeldes kann als Gradient der Divergenz geschrieben werden **c)** In einer Kugelwelle haben alle Punkte gleicher Phase den selben Abstand von der Quelle **d)** Die Intensität entspricht dem Quadrat der Amplitude ### Q2 Ein Seil mit Dichte

ρ_{1}

ist verknüpft mit einem Seil der Dichte

ρ_{2}

Welches Bild ist korrekt?

**a)** Ist korrekt. Betrachte den Fall

ρ_{1} = ρ_{2}

. In diesem Fall muss die Welle auf der rechten Seite nach oben ausgelenkt werden. Ändern des dichteverhältnis ändert daran nichts. Betrachte den Fall

ρ_{2} = \infty

. Hier haben wir die Reflektion an einer Wand, die Auslenkung muss invertiert werden.

### Q3 Welche Rechnungen sind Inkorrekt: Sei

v (x, y, z) = (\begin{matrix} x^{2} \\ z \\ y x \end{matrix})

**a)**

d i v (v) = 2 x

**b)**

r o t (v) = 0

**c)**

r o t (v) = (\begin{matrix} x - 1 \\ y \\ 0 \end{matrix})

**d)**

g r a d (v) = (\begin{matrix} 2 x \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

**a)** Richtig: (div = ableitung aller Komponenten in ihre jeweiliger Richtung dann summe). Nur

x

Komponente hat “die eigene Variabel” drinn.

\frac{d}{d x^{2}} = 2 x

**b)** Ist Falsch:

\rot (v) = \nabla \times v = (\begin{matrix} x - 1 \\ 0 - y \\ 0 \end{matrix})

(Kann aber bereits durch Tatsache das

r o t

einen Vektor ausgibt gesehen werden) **c)** Richtig: Siehe Rechnung b **d)** Falsch: Grad nimmt nur Skalarfelder!

### Q4 Die Intensität ist: - Der Betrag des Poynting vektors - Das gleiche wie die Amplitude aber in 3D - Das gleiche wie der Wellenvektor - Das gleiche wie die Energiedichte

**a)** Richtig **b)** Intensität ist das Quadrat der Amplitude **c)** Der Wellenvektor ist ein Vektor (die Intensität ist ein Skalar) **d)** Die Einheit der Intensität ist

[\frac{W}{m^{2}}]

die Einheit der Energiedichte ist

[\frac{J}{m^{3}}]

## Bonus ### Bonus Partial derivatives Betrachte die funktionen:

f (x, y) = x + y

y (x) = x

\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial x}{\partial x} = 1

\frac{d f}{d x} = \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} y = 1 + \frac{d}{d x} y = 1 + 1 = 2

Bei der Totalen Ableitung sind wir noch nicht fertig, denn wir müssen noch

\frac{d y}{d x}

herausfinden. Was ist der Unterschied?

\frac{d f}{d x}

Ist die Steigung entlang des Pfades der durch

y (x)

vorgegeben wird. Es ist eine Aussage über

g

die Funktion die nur noch von

x

abhängt

\frac{\partial f}{\partial x}

Ist die Steigung in

x

Richtung. Es ist eine Aussage über

f

ohne Berücksichtigung von Pfaden. In Analysis wird man die Totale Ableitung so definieren:

d f = \frac{\partial f}{\partial x} d x + \frac{\partial f}{\partial y} d y

Durch "teilen durch

d x

" erhällt man dann unseren Ausdruck. Dieser Ausdruck wird verständlicher wenn wir

d f, d x, d y

als Basisvektoren eines VR's betrachten. Die Notation

d f = \frac{\partial f}{\partial x} d x + \frac{\partial f}{\partial y} d y

Ist dann einfach analog zu:

d f = (\begin{matrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \end{matrix})

Mit

d x = (1, 0)

und

d y = (0, 1)

Prep Woche 2 - FS24