$\newcommand{\dede}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2} }
\newcommand{\dd}[2]{\frac{d #1}{d #2}}
\newcommand{\divby}[1]{\frac{1}{#1} }
\newcommand{\typing}[3][\Gamma]{#1 \vdash #2 : #3}
\newcommand{\xyz}[0]{(x,y,z)}
\newcommand{\xyzt}[0]{(x,y,z,t)}
\newcommand{\hams}[0]{-\frac{\hbar^2}{2m}(\dede{^2}{x^2} + \dede{^2}{y^2} + \dede{^2}{z^2}) + V\xyz}
\newcommand{\hamt}[0]{-\frac{\hbar^2}{2m}(\dede{^2}{x^2} + \dede{^2}{y^2} + \dede{^2}{z^2}) + V\xyzt}
\newcommand{\ham}[0]{-\frac{\hbar^2}{2m}(\dede{^2}{x^2}) + V(x)}$
# Standardabweichung und Fehler
Die Standardabweichung ist ein mass für wie genau (absolut) eine Messung ist.
Sie wird meist in klammern nach der Zahl angegeben. Die Abweichung bezieht sich dann auf die letzte/ letzten stellen
Beispiel:
$0.1231(12) =^{"} 0.1231\pm 0.0012$
$x = A(B)$
## Relativer Fehler
Bezeichnet wie gross der Fehler in Prozent ist.
$\delta x = \frac{A}{B}$
Es lohnt sich die Standardabweichung als separate Zahl zu schreiben.
## Sig-figs
Significant figures, oder signifikante Stellen sind die Anzahl stellen, welche wir einem Resultat geben (dh. die anzahl Zahlen die das Resultat hat). Dabei werden Zehnerpotenzen nicht berücksichtigt.
### Bsp:
- $0.1231$ -> 4
- $0.0000324$ -> 3
- $1.4 \cdot 10^{132}$ -> 2
Gebt nicht mehr als 4 signifikante Stellen an, sonst gibts Abzug!
- Warum?
- Sig-figs suggerieren Genauigkeit, welche ihr nicht habt.
## Quiz:
### A1:
Was ist der Relative Fehler von: 0.060(12)
- 20%
- 2%
- 5%
- 50%
# Mittelung
Wenn wir stochastische Prozesse betrachen, wollen wir manchmal nur den Erwartungswert berechnen. Also das Resultat das wir erwarten, wenn wir viele Prozesse betrachen, und den Durchschnitt anschauen.
## Mittlere Masse
Die mittlere Masse ist die masse eines Elements, welche wir im Alltag sehen. Dies kommt davon, dass wir im Normalfall immer Isotopengemische haben.
$\bar m = \sum\limits_{x}m_{x}h_{x}$
Mit $m_{x}$ der Masse des reinen Isotops
Mit $h_{x}$ der Häufigkeit des Isotops
Weil $h_{x}$ einfach eine Gewichtung ist muss gelten, dass $\sum\limits_{x}h_{x}=1$
# Komplexe Zahlen
Weil es Gleichungen ohne Lösungen gibt $x^{2}=-1$ führen wir die Komplexen Zahlen ein. Wir sagen $i^{2}= -1$
Also $\sqrt{-1} = i$
Wir können diese Neuen Zahlen als eine 2D Ebene darstellen.
$z = a+bi$
## Komplexe Konjugation:
$(a+bi)^{*}=(a-bi)$
Entspricht einer Spiegelung um die Reele Achse
## $Re$ und $Im$ und $|\circ |$
Manchmal interessiert uns nur $a$ oder $b$. Dazu gibt es eine einfache Operation:
- $a = Re(z)$
- $b=Im(z)$
Wenn wir nur die ‘Länge’ der Zahl haben möchten:
- $R = |z| = \sqrt{a^{2}+ b^{2}}$
Mithilfe der Konjugation:
$zz^{*} = (a+bi)(a-bi) = a^{2}+b^{2}+abi-abi=a^{2}+b^{2}=|z|^{2}$
## Polarkoordinaten
Es eignet sich Komplexe Zahlen nicht in Karthesischen Koordinaten, sondern in Polarkoordinaten anzugeben.
$a+b i = R(\cos(\phi) + \sin(\phi)i)$
## Exponentialform
Analog zur Polarform kann man mithilfe einer nützlichen Identität die Notation abkürzen
Dazu muss man sich nur merken, dass $e^{i\phi}$ eine Rotation um $\phi$ im *Gegenuhrzeigersinn* ist (in Radian)
## How to build a Cosinus
Wir betrachten $e^{i\phi}$. Wenn $\phi$ von $0$ nach $2\pi$ geht, drehen wir uns einmal um den Kreis.
Dabei ist zu jedem Zeitpunkt die Höhe über $0$ gegeben durch $b=Im(z)$ Und die horizontale Distanz ist gegeben durch $a=Re(z)$.
$cos(\phi) = Re(e^{i\phi}) = a = \frac{1}{2}((a+bi)+(a-bi))=\frac{1}{2}(z+z^{*})=\frac{1}{2}(e^{i\phi}+e^{-i\phi})$
## Quiz
### A1:
Wir haben gesehen wie man einen $\cos$ baut, wie sieht denn ein $sin$ aus?
- $\frac{1}{2}(e^{i\phi}-e^{i \phi})$
- $\frac{1}{2}(e^{i\phi}-e^{-i\phi})$
- $\frac{1}{2}(e^{-i\phi}-e^{-i\phi})$
- $\frac{1}{2}(e^{-i\phi}-e^{i\phi})$
### A2:
Gegeben die Funktion:
TODO: sketch
Welche Funktion $f'$ brauchen wir um ein Herz zu erhalten?
- $f' = -f$
- $f' = if$
- $f' = |f|$
- $f' = \bar f$
# Lesen von Differentialgleichungen
Es lohnt sich intuitiv zu verstehen, was die Mathematik von uns will.
$\dd{f}{x}$ ist die Steigung der Funktion.
$\dd{^{2}f}{x^{2}}$ ist die Krümmung der Funktion
$\int f$ ist die "zurückgelegte Strecke" der Funktion
### Beispiel Auto:
Betracht $s(t)$ die zurückgelegte Distanz zur Zeit $t$
$\dd{s}{t}$ ist die Steigung = Veränderung der Position. Das heist-> die Geschwindigkeit
$\dd{^{2}s}{t^{2}}$ ist die Krümmung = schneller werden -> Beschleunigung
Da Differentialgleichungen nur Mathematik sind, darf man sich immer ein analoges System vorstellen.
### Beispiel Schrödinger Gleichung:
$i\bar h \dede{\Psi}{t} = \left[-\frac{\bar h^{2}}{2m} \dede{^{2}}{x^{2}} + V(x,t)\right]\Psi$
### Beispiel Zeit unabhängige Schrödinger Gleichung:
$E \Psi = -\frac{\hbar^{2}}{2m} \dede{^{2}}{x^{2}} \Psi$
Wir wissen, dass $|\Psi|^{2}$ die Wahrscheinlichkeitsdichte ist.
Ein intuitives versändnis fúr die Bedeutung der Gleichung oben ist schwierig.
Jedoch dürfen wir uns irgendein system vorstellen. Also denken wir $\Psi = x$ also die Auslenkung von zum Beispiel einem Seil.
Die Gleichung sagt nun: Die Krümmung vom Seil ist proportional zu $-\frac{2m E}{\hbar^{2}}$
Dh. Das seil krümmt sich zurück. Und es tut dies stärker, wenn das Teilchen im Kasten schwerer ist, oder mehr Energie hat.
## Quiz:
### A1:
Welche Übersetzungen von Mathe zu Text sind **korrekt**?
Die Menge von $A$ ist proportional zu zur Veränderung von $A$
- $A = k \dd{A}{t}$
- $\int A dt= kA+ C$
- $\int A dt= A+ kC$
- $A= Ak + kt$
# Operatoren
Rechenregeln/ muster. Operatoren fressen Funktionen, und erzeugen neue Funktionen
Wenn ein Operator einen Operator frisst, so ist dies der Operator, der beide Operationen nacheinander durchführt.
TODO: Skizze
## Beispiele
- $\dd{}{x}$ : Ableitungs operator
- $\cdot x$ : "mit x multiplizier" operator
- $\dd{}{x} - x$: "ableit und mal x abzieh" operator
- $\hat H$: Hamilton operator
## Rechenregeln
Um mit Operatoren zu rechnen eignet es sich meistens eine Testfunktion zu verwenden.
Dh. Anstelle von $\hat O \hat A$ direkt zu berechnen betrachten wir:
$\hat O \hat A f$
Wobei wir $f$ nicht weiter spezifizieren
### Beispiel:
$\hat O =\dd{}{x}$
$\hat A = x^{2}-2$
$\hat O \hat A f = \dd{}{x}((x^{2}-2)f)$
Produktregel
$\dd{x^{2}-2}{x}f + (x^{2}-2)\dd{f}{x}$
$2xf + (x^{2}-2)f'$
Entferne das $f$
$\hat O \hat A = 2x + (x^{2}-2) \dd{}{x}$
Achtung! Operatoren können meistens nicht einfach multipliziert werden:
### Beispiel:
$\dd{}{x}(\dd{}{x}) = \dd{^{2}}{x^{2}} \neq \dd{}{x}^2$
Angewandt auf $f = x^{2}$
$\dd{}{x}(\dd{}{x}f) = \dd{^{2}}{x^{2}}f \neq \dd{}{x}^2f$
weil
$2 = \dd{2x}{x} = \dd{^{2}2x}{x} \neq (2x)^{2} = 4x^{2}$
### Rezept:
1) Betrachte Testfunktion $f(x,y,z,\ldots)$
2) Schreibe $\hat A \hat B f = \hat A (\hat B (f))$
3) Rechne von innen nach aussen. (Achtung Produkt, Quotienten, Kettenregel)
4) Fertige Terme der Form $\dd{}{x}f, \dd{^{2}}{x^{2}}f$ substituieren durch $f’, f’’$
5) Schreibe alle $f$ terme nach Rechts
6) Rücksubstitution
7) Entferne $f$ für $\hat A \hat B$
## Kommutatoren
Bei Operatoren spielt die Reihenfolge eine Rolle!
### Beispiel:
$\dd{}{x}(x (f)) \neq x(\dd{}{x}(f))$
Weil:
$\dd{}{x}(xf) = x\dd{f}{x} + f\dd{x}{x} = xf' + f$
$\neq$
$x(\dd{}{x}(f)) = xf'$
Wir möchten diesen Unterschied mathematisch ausdrücken.
$$[\hat A, \hat B] := AB -BA $$
Wir nennen diese Klammer den **Kommutator** von $\hat A$ und $\hat B$
Dieser ist nützlich wenn wir die Reihenfolge von Operatoren austauschen möchten, weil:
$\hat A \hat B =\hat B \hat A + [\hat A, \hat B]$
Der Kommutator ist also eine Art Korrektur damit wir die Operatoren trotzdem vertauschen dürfen.
## Quiz:
### A1:
Welches ist der korrekte Kommutator von $x$ und $\dd{}{x}$
- $0$
- $-f$
- $f$
- $f’$
# Eigenwerte/ Eigenvektoren
Gegeben eine Matrix $A = \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ stellen wir uns die Frage welche Vektoren $\vec v$ gibt es, die nur verlängert oder verkürzt, jedoch nicht gedreht werden.
Oder in mathematik:
$A\vec v= \lambda \vec v$
Wobei $\lambda$ angibt wie viel verkürzt, bzw verlängert wurde.
Vektoren die diese Gleichung erfüllen heissen *Eigenvektoren*
Die dazu-gehörigen $\lambda$ heissen *Eigenwerte*
Wichtig ist, dass jeder Eigenvektor einen eigenen Eigenwert hat.
# Eigenfunktionen
Eine matrix frisst einen vektor und gibt uns einen vektor.
Ein Operator frisst eine Funktion und gibt uns eine Funktion.
Wir können uns nun die gleiche frage wie bei Matritzen und Vektoren stellen.
Für einen gegebenen Operator $\hat O$, welche Funktionen haben die Eigenschaft, dass sie nur skaliert werden.
$\hat O f = \lambda f$
Hier heisst $f$ dann *Eigenfunktion*
und $\lambda$ Eigenwert.
Ein Operator kann meherere Eigenfunktionen und Eigenwerte haben.
Warum ist das relevant?
Es stellt sich heraus, dass in QM nur Eigenfunktionen von Operatoren betrachtet werden können.
# Rechnen:
## Bestätigen von Eigenfunktionen
Wenn wir herausfinden möchten, ob eine Funktion eine Eigenfunktion ist, so können wir einfach den operator darauf anwenden und sehen, ob es wieder ein vielfaches davon ist.
## Finden von Eigenfunktionen
Lösen per Ansatz: Wir verwenden den Euler ansatz.
Dh.
$f(x) = ae^{bx}$
### Beispiel 1
$\dd{f}{x} = 23f$
1) Einsetzen:
$\dd{}{x} ae^{bx} = 23ae^bx$
$abe^{bx} = 23ae^{bx}$
$b = 23$
$f(x) = ae^{23x}$
2) Anfangswertproblem
Wir haben die Form der Funktion gefunden, jedoch fehlt noch die Konstante $a$
Diese können wir mithilfe des Anfangswertes bestimmen
Angenommen $f(0) = 500$
$f(0) = ae^{23\cdot0} = a = 500$
3) profit!
$f(x) = 500*e^{23x}$
### Beispiel 2
$\dd{^{2}f}{x^{2}} = -100f$
1) Einsetzen
$\dd{^{2}}{x}ae^{bx}=-100ae^{bx}$
$b^{2}ae^{bx}=-100ae^{bx}$
$b^{2}= -100$
$b= 10i$
$f(x) = ae^{10ix}$ -> Komplex!!!
Die Lösung ist Sinusförmig
$f(x) = a\cos(10x + \delta)$
2) Anfangswertproblem
Wir brauchen 2 Anfangswerte
$f(0) = 0$
$f'(0) = 300$
$f(0) = a\cos(\delta)=0$
$\implies \delta = \frac{\pi}{2}, \frac{3}{2}\pi,...$
$f'(0) = -a\sin(\delta) = -a\sin\left(\frac{\pi}{2}+n\pi\right) = -a(\pm 1) =300$
Wir wählen ein $n$, weil Verschiebung um $\pi$ gleich dem Vorzeichenwechsel von $a$ ist.
$n=0$
$-\sin\frac{\pi}{2}=-a =300$
$\implies a = -300$
$\implies f(x)=-300\cos\left(10x + \frac{\pi}{2}\right)= 300\sin(10x)$
## Separationsansatz*
Ist eine Alternative zum euler-ansatz.
Wir tun so, als ob die Ableitung ein Bruch wäre. Funktioniert nur bei einfachen Ableitungen!!
Vor allem nützlich wenn nicht nur $f$, sondern auch $f\cdot x$ vorkommt
### Beispiel 1
$\dd{f}{x} = \lambda f$
$df \cong \lambda f \space dx$
$\frac{1}{f}df \cong \lambda \space dx$
Wir möchten nun die Differentiale (die d's) entfernen. Dies tun wir durch integration
$\int \frac{1}{f}df \cong \int \lambda dx$
$\ln(f) \cong \lambda x + C$
$f(x) \cong e^{\lambda x + C} = e^{\lambda x}\cdot C$
## Wie die Natur funktioniert
### Intuitiv
Auf unserem Level kennen wir zwei verschiedene Verhalten die in der Natur oft vorkommen:
- Exponentiell
- Trigonometrisch
Dieses Verhalten lässt sich oft schon im vorherein voraussagen:
Dazu stellen wir uns folgende Fragen:
- Erwarten wir das sich die Lösung dieses Systems wiederholt?
- Trigonometrisch
Beispiele dazu:
- Wellen
- Teilchen im Kasten
- Schwingungen
- Erwarten wir das das System irgendwann zur Ruhe kommt oder explodiert?
- Exponentiell
Beispiele dazu:
- Radioaktiver zerfall
- Diffusion
- Wärmeverlust
### Mathematisch
Ihr werdet differentialgleichungen der folgenden Form antreffen:
$\dd{f}{x} = \lambda f$
$\dd{^{2}f}{x^{2}}= \lambda f$
Wenn wir die beiden betrachten fällt als erstes auf, dass die erste Gleichung sich nicht beliebig oft wiederholen kann.
Warum?
Meine funktion ist so steil, wie sie gross ist. (mal lambda)
Es gibt keine möglichkeit zurückzusteuern. (Wenn die funktion bereits gross ist, wird sie nur noch grösser)
-> Das verhalten ist exponentiell
Am Beispiel des radioaktiven Zerfalls:
Die anzahl Zerfälle pro Zeit ist proportional zur anzahl vorhandener Atome
Betrachen wir nun die zweite Gleichung:
Die doppelte Ableitung entspricht der Krúmmng der Funktion (bauch nach oben oder unten)
Hier ist nun eine periodische Lösung vorstellbar. (Je grösser die Funktion ist, je mehr krümmt sie sich zurück)
Wichtig ist hier jedoch ein negatives $\lambda$, denn sonst heist es, je grösser die Funktion, je mehr krümmt sie sich weg -> Exponentiell
# Taschenrechner
Ich empfehle jedem sich für die Prüfung einen CAS Taschenrechner zu Kaufen/ Leihen.
Mein Modell:
_TI-nspire cx CAS_
## Vorteile
- Automatisches lösen von Integralen/ Ableitungen. Umformungen
- Einheiten! & Naturkonstanten
- Paralleles rechnen (Listen)
- Plots
- Natürliche Zahlen "@n0"
## $Re$ und $Im$ und $|\circ |$
Manchmal interessiert uns nur $a$ oder $b$. Dazu gibt es eine einfache Operation:
- $a = Re(z)$
- $b=Im(z)$
Wenn wir nur die ‘Länge’ der Zahl haben möchten:
- $R = |z| = \sqrt{a^{2}+ b^{2}}$
Mithilfe der Konjugation:
$zz^{*} = (a+bi)(a-bi) = a^{2}+b^{2}+abi-abi=a^{2}+b^{2}=|z|^{2}$
## Polarkoordinaten
Es eignet sich Komplexe Zahlen nicht in Karthesischen Koordinaten, sondern in Polarkoordinaten anzugeben.
$a+b i = R(\cos(\phi) + \sin(\phi)i)$
## Exponentialform
Analog zur Polarform kann man mithilfe einer nützlichen Identität die Notation abkürzen
Dazu muss man sich nur merken, dass $e^{i\phi}$ eine Rotation um $\phi$ im *Gegenuhrzeigersinn* ist (in Radian)
## How to build a Cosinus
Wir betrachten $e^{i\phi}$. Wenn $\phi$ von $0$ nach $2\pi$ geht, drehen wir uns einmal um den Kreis.
Dabei ist zu jedem Zeitpunkt die Höhe über $0$ gegeben durch $b=Im(z)$ Und die horizontale Distanz ist gegeben durch $a=Re(z)$.
$cos(\phi) = Re(e^{i\phi}) = a = \frac{1}{2}((a+bi)+(a-bi))=\frac{1}{2}(z+z^{*})=\frac{1}{2}(e^{i\phi}+e^{-i\phi})$
## Quiz
### A1:
Wir haben gesehen wie man einen $\cos$ baut, wie sieht denn ein $sin$ aus?
- $\frac{1}{2}(e^{i\phi}-e^{i \phi})$
- $\frac{1}{2}(e^{i\phi}-e^{-i\phi})$
- $\frac{1}{2}(e^{-i\phi}-e^{-i\phi})$
- $\frac{1}{2}(e^{-i\phi}-e^{i\phi})$
### A2:
Gegeben die Funktion:
TODO: sketch
Welche Funktion $f'$ brauchen wir um ein Herz zu erhalten?
- $f' = -f$
- $f' = if$
- $f' = |f|$
- $f' = \bar f$
# Lesen von Differentialgleichungen
Es lohnt sich intuitiv zu verstehen, was die Mathematik von uns will.
$\dd{f}{x}$ ist die Steigung der Funktion.
$\dd{^{2}f}{x^{2}}$ ist die Krümmung der Funktion
$\int f$ ist die "zurückgelegte Strecke" der Funktion
### Beispiel Auto:
Betracht $s(t)$ die zurückgelegte Distanz zur Zeit $t$
$\dd{s}{t}$ ist die Steigung = Veränderung der Position. Das heist-> die Geschwindigkeit
$\dd{^{2}s}{t^{2}}$ ist die Krümmung = schneller werden -> Beschleunigung
Da Differentialgleichungen nur Mathematik sind, darf man sich immer ein analoges System vorstellen.
### Beispiel Schrödinger Gleichung:
$i\bar h \dede{\Psi}{t} = \left[-\frac{\bar h^{2}}{2m} \dede{^{2}}{x^{2}} + V(x,t)\right]\Psi$
### Beispiel Zeit unabhängige Schrödinger Gleichung:
$E \Psi = -\frac{\hbar^{2}}{2m} \dede{^{2}}{x^{2}} \Psi$
Wir wissen, dass $|\Psi|^{2}$ die Wahrscheinlichkeitsdichte ist.
Ein intuitives versändnis fúr die Bedeutung der Gleichung oben ist schwierig.
Jedoch dürfen wir uns irgendein system vorstellen. Also denken wir $\Psi = x$ also die Auslenkung von zum Beispiel einem Seil.
Die Gleichung sagt nun: Die Krümmung vom Seil ist proportional zu $-\frac{2m E}{\hbar^{2}}$
Dh. Das seil krümmt sich zurück. Und es tut dies stärker, wenn das Teilchen im Kasten schwerer ist, oder mehr Energie hat.
## Quiz:
### A1:
Welche Übersetzungen von Mathe zu Text sind **korrekt**?
Die Menge von $A$ ist proportional zu zur Veränderung von $A$
- $A = k \dd{A}{t}$
- $\int A dt= kA+ C$
- $\int A dt= A+ kC$
- $A= Ak + kt$
# Operatoren
Rechenregeln/ muster. Operatoren fressen Funktionen, und erzeugen neue Funktionen
Wenn ein Operator einen Operator frisst, so ist dies der Operator, der beide Operationen nacheinander durchführt.
TODO: Skizze
## Beispiele
- $\dd{}{x}$ : Ableitungs operator
- $\cdot x$ : "mit x multiplizier" operator
- $\dd{}{x} - x$: "ableit und mal x abzieh" operator
- $\hat H$: Hamilton operator
## Rechenregeln
Um mit Operatoren zu rechnen eignet es sich meistens eine Testfunktion zu verwenden.
Dh. Anstelle von $\hat O \hat A$ direkt zu berechnen betrachten wir:
$\hat O \hat A f$
Wobei wir $f$ nicht weiter spezifizieren
### Beispiel:
$\hat O =\dd{}{x}$
$\hat A = x^{2}-2$
$\hat O \hat A f = \dd{}{x}((x^{2}-2)f)$
Produktregel
$\dd{x^{2}-2}{x}f + (x^{2}-2)\dd{f}{x}$
$2xf + (x^{2}-2)f'$
Entferne das $f$
$\hat O \hat A = 2x + (x^{2}-2) \dd{}{x}$
Achtung! Operatoren können meistens nicht einfach multipliziert werden:
### Beispiel:
$\dd{}{x}(\dd{}{x}) = \dd{^{2}}{x^{2}} \neq \dd{}{x}^2$
Angewandt auf $f = x^{2}$
$\dd{}{x}(\dd{}{x}f) = \dd{^{2}}{x^{2}}f \neq \dd{}{x}^2f$
weil
$2 = \dd{2x}{x} = \dd{^{2}2x}{x} \neq (2x)^{2} = 4x^{2}$
### Rezept:
1) Betrachte Testfunktion $f(x,y,z,\ldots)$
2) Schreibe $\hat A \hat B f = \hat A (\hat B (f))$
3) Rechne von innen nach aussen. (Achtung Produkt, Quotienten, Kettenregel)
4) Fertige Terme der Form $\dd{}{x}f, \dd{^{2}}{x^{2}}f$ substituieren durch $f’, f’’$
5) Schreibe alle $f$ terme nach Rechts
6) Rücksubstitution
7) Entferne $f$ für $\hat A \hat B$
## Kommutatoren
Bei Operatoren spielt die Reihenfolge eine Rolle!
### Beispiel:
$\dd{}{x}(x (f)) \neq x(\dd{}{x}(f))$
Weil:
$\dd{}{x}(xf) = x\dd{f}{x} + f\dd{x}{x} = xf' + f$
$\neq$
$x(\dd{}{x}(f)) = xf'$
Wir möchten diesen Unterschied mathematisch ausdrücken.
$$[\hat A, \hat B] := AB -BA $$
Wir nennen diese Klammer den **Kommutator** von $\hat A$ und $\hat B$
Dieser ist nützlich wenn wir die Reihenfolge von Operatoren austauschen möchten, weil:
$\hat A \hat B =\hat B \hat A + [\hat A, \hat B]$
Der Kommutator ist also eine Art Korrektur damit wir die Operatoren trotzdem vertauschen dürfen.
## Quiz:
### A1:
Welches ist der korrekte Kommutator von $x$ und $\dd{}{x}$
- $0$
- $-f$
- $f$
- $f’$
# Eigenwerte/ Eigenvektoren
Gegeben eine Matrix $A = \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ stellen wir uns die Frage welche Vektoren $\vec v$ gibt es, die nur verlängert oder verkürzt, jedoch nicht gedreht werden.
Oder in mathematik:
$A\vec v= \lambda \vec v$
Wobei $\lambda$ angibt wie viel verkürzt, bzw verlängert wurde.
Vektoren die diese Gleichung erfüllen heissen *Eigenvektoren*
Die dazu-gehörigen $\lambda$ heissen *Eigenwerte*
Wichtig ist, dass jeder Eigenvektor einen eigenen Eigenwert hat.
# Eigenfunktionen
Eine matrix frisst einen vektor und gibt uns einen vektor.
Ein Operator frisst eine Funktion und gibt uns eine Funktion.
Wir können uns nun die gleiche frage wie bei Matritzen und Vektoren stellen.
Für einen gegebenen Operator $\hat O$, welche Funktionen haben die Eigenschaft, dass sie nur skaliert werden.
$\hat O f = \lambda f$
Hier heisst $f$ dann *Eigenfunktion*
und $\lambda$ Eigenwert.
Ein Operator kann meherere Eigenfunktionen und Eigenwerte haben.
Warum ist das relevant?
Es stellt sich heraus, dass in QM nur Eigenfunktionen von Operatoren betrachtet werden können.
# Rechnen:
## Bestätigen von Eigenfunktionen
Wenn wir herausfinden möchten, ob eine Funktion eine Eigenfunktion ist, so können wir einfach den operator darauf anwenden und sehen, ob es wieder ein vielfaches davon ist.
## Finden von Eigenfunktionen
Lösen per Ansatz: Wir verwenden den Euler ansatz.
Dh.
$f(x) = ae^{bx}$
### Beispiel 1
$\dd{f}{x} = 23f$
1) Einsetzen:
$\dd{}{x} ae^{bx} = 23ae^bx$
$abe^{bx} = 23ae^{bx}$
$b = 23$
$f(x) = ae^{23x}$
2) Anfangswertproblem
Wir haben die Form der Funktion gefunden, jedoch fehlt noch die Konstante $a$
Diese können wir mithilfe des Anfangswertes bestimmen
Angenommen $f(0) = 500$
$f(0) = ae^{23\cdot0} = a = 500$
3) profit!
$f(x) = 500*e^{23x}$
### Beispiel 2
$\dd{^{2}f}{x^{2}} = -100f$
1) Einsetzen
$\dd{^{2}}{x}ae^{bx}=-100ae^{bx}$
$b^{2}ae^{bx}=-100ae^{bx}$
$b^{2}= -100$
$b= 10i$
$f(x) = ae^{10ix}$ -> Komplex!!!
Die Lösung ist Sinusförmig
$f(x) = a\cos(10x + \delta)$
2) Anfangswertproblem
Wir brauchen 2 Anfangswerte
$f(0) = 0$
$f'(0) = 300$
$f(0) = a\cos(\delta)=0$
$\implies \delta = \frac{\pi}{2}, \frac{3}{2}\pi,...$
$f'(0) = -a\sin(\delta) = -a\sin\left(\frac{\pi}{2}+n\pi\right) = -a(\pm 1) =300$
Wir wählen ein $n$, weil Verschiebung um $\pi$ gleich dem Vorzeichenwechsel von $a$ ist.
$n=0$
$-\sin\frac{\pi}{2}=-a =300$
$\implies a = -300$
$\implies f(x)=-300\cos\left(10x + \frac{\pi}{2}\right)= 300\sin(10x)$
## Separationsansatz*
Ist eine Alternative zum euler-ansatz.
Wir tun so, als ob die Ableitung ein Bruch wäre. Funktioniert nur bei einfachen Ableitungen!!
Vor allem nützlich wenn nicht nur $f$, sondern auch $f\cdot x$ vorkommt
### Beispiel 1
$\dd{f}{x} = \lambda f$
$df \cong \lambda f \space dx$
$\frac{1}{f}df \cong \lambda \space dx$
Wir möchten nun die Differentiale (die d's) entfernen. Dies tun wir durch integration
$\int \frac{1}{f}df \cong \int \lambda dx$
$\ln(f) \cong \lambda x + C$
$f(x) \cong e^{\lambda x + C} = e^{\lambda x}\cdot C$
## Wie die Natur funktioniert
### Intuitiv
Auf unserem Level kennen wir zwei verschiedene Verhalten die in der Natur oft vorkommen:
- Exponentiell
- Trigonometrisch
Dieses Verhalten lässt sich oft schon im vorherein voraussagen:
Dazu stellen wir uns folgende Fragen:
- Erwarten wir das sich die Lösung dieses Systems wiederholt?
- Trigonometrisch
Beispiele dazu:
- Wellen
- Teilchen im Kasten
- Schwingungen
- Erwarten wir das das System irgendwann zur Ruhe kommt oder explodiert?
- Exponentiell
Beispiele dazu:
- Radioaktiver zerfall
- Diffusion
- Wärmeverlust
### Mathematisch
Ihr werdet differentialgleichungen der folgenden Form antreffen:
$\dd{f}{x} = \lambda f$
$\dd{^{2}f}{x^{2}}= \lambda f$
Wenn wir die beiden betrachten fällt als erstes auf, dass die erste Gleichung sich nicht beliebig oft wiederholen kann.
Warum?
Meine funktion ist so steil, wie sie gross ist. (mal lambda)
Es gibt keine möglichkeit zurückzusteuern. (Wenn die funktion bereits gross ist, wird sie nur noch grösser)
-> Das verhalten ist exponentiell
Am Beispiel des radioaktiven Zerfalls:
Die anzahl Zerfälle pro Zeit ist proportional zur anzahl vorhandener Atome
Betrachen wir nun die zweite Gleichung:
Die doppelte Ableitung entspricht der Krúmmng der Funktion (bauch nach oben oder unten)
Hier ist nun eine periodische Lösung vorstellbar. (Je grösser die Funktion ist, je mehr krümmt sie sich zurück)
Wichtig ist hier jedoch ein negatives $\lambda$, denn sonst heist es, je grösser die Funktion, je mehr krümmt sie sich weg -> Exponentiell
# Taschenrechner
Ich empfehle jedem sich für die Prüfung einen CAS Taschenrechner zu Kaufen/ Leihen.
Mein Modell:
_TI-nspire cx CAS_
## Vorteile
- Automatisches lösen von Integralen/ Ableitungen. Umformungen
- Einheiten! & Naturkonstanten
- Paralleles rechnen (Listen)
- Plots
- Natürliche Zahlen "@n0"